ZADANIE 4Wartości własne czyli pierwiastki równania det(A − λE):
|1-λ , 3 , 0 |
| 0 , 2-λ , -1 |
| 0 , 0 , -4-λ|
Obliczamy wyznacznik => (1-λ)(2-λ)(-4-λ)=(λ-1)(λ-1)(λ+4)
Widać, że rozwiązaniami równania (λ-1)(λ-1)(λ+4)=0 są λ=1, λ=2 i λ=-4. To są wartości własne macierzy.
Teraz liczymy wektor własny dla np. λ=2:
macierz ma postać:
|-1 , 3 , 0|
|0 , 0 , -1|
|0 , 0 , -6|
czyli -x+3y+0z=0 => x=3y i -z=0 => z=0
Podstawiamy: z=a, y=b => x=3b
Wektor własny dla λ=2 ma postać: v=(3b,b,a)=b(3,1,0)+a(0,0,1)
ZADANIE 5Wektor normalny to po prostu wektor prostopadły do danej płaszczyzny. Płaszczyzna równoległa do wektorów z zadania to np. płaszczyzna, którą te wektory tworzą (rozpinają ją). Skorzystamy z prostego triku: iloczynu wektorowego, który zgodnie z definicją jest prostopadły do płaszczyzny stworzonej z mnożonych wektorów.
P=(-2,0,4); Q=(4,1,1)
Zgodnie ze wzorem:

, gdzie u nas: c - szukany wektor, a i b to są nasze wektory P i Q. Po prostych obliczenaich wychodzi wektor normalny: (-4,18,-2)
Uwaga do zadań:
1. Różnie się oznacza wektory. Jedni są za (...), inni wolą [...], jeszcze inni <...>. Wszystko zależy od prowadzącego.
2. Pierwszego zadania nie jestem pewny o tej godzinie.

